사다리 타기, 어느 자리를 골라도 확률이 같을까
당첨 자리가 보이는 사다리라면 같지 않습니다. 가로줄을 무작위로 놓아도 출발한 자리 가까이에 떨어질 확률이 더 높습니다. 4명이 타는 12줄 사다리에서 1번 자리는 바로 아래 1번 끝에 닿을 확률이 30.5%이고, 반대편 4번 끝은 19.1%입니다. 당첨 자리를 사다리와 따로 무작위로 뽑으면 어느 자리에서 출발하든 당첨 확률이 같아집니다.
사다리 타기는 당첨 자리를 따로 뽑는 쪽입니다. 이 글은 사다리 모양만으로는 왜 확률이 고르지 않은지, 무엇을 따로 뽑아야 고르게 되는지를 이 도구가 사다리를 만드는 규칙으로 계산해 보여 줍니다.
가로줄 하나는 옆자리로 한 칸만 옮겨 줍니다
사다리를 타고 내려가다 가로줄을 만나면 이웃한 세로줄로 건너갑니다. 한 번에 한 칸입니다. 1번 자리에서 출발해 4번 끝에 닿으려면 오른쪽으로 세 칸을 가야 하니, 가로줄을 적어도 세 번 만나야 합니다.
바로 아래 1번 끝에 닿는 길은 훨씬 많습니다. 가로줄을 한 번도 만나지 않아도 되고, 옆으로 갔다가 되돌아와도 됩니다. 가로줄을 무작위로 놓았을 때 가까운 끝자리가 더 자주 나오는 까닭이 여기에 있습니다.
차이가 얼마나 되는지는 사다리를 만드는 규칙이 정해져야 계산할 수 있습니다.
4명 사다리에서도 끝자리마다 확률이 다릅니다
사다리 타기 도구를 처음 열면 들어 있는 4명으로 계산했습니다. 이 도구는 4명일 때 가로줄을 놓을 수 있는 높이를 12줄 만들고, 높이마다 세로줄 사이의 세 칸을 왼쪽부터 보면서 3분의 1 확률로 가로줄을 놓습니다. 가로줄을 놓으면 바로 오른쪽 칸은 건너뜁니다. 그래서 같은 높이에서 가로줄 두 개가 맞닿는 일은 없고, 한 높이에는 가로줄이 없을 수도, 떨어진 두 칸에 하나씩 놓일 수도 있습니다.
한 높이에서 나올 수 있는 배치는 다섯 가지입니다. 배치마다의 확률을 12줄만큼 이어 곱하면 출발 자리에서 각 끝자리에 닿을 확률이 나옵니다. 여러 번 돌려서 센 값이 아니라 가능한 경우를 모두 따져 구한 값이고, 소수 둘째 자리에서 반올림했습니다.
| 출발 | 1번 끝 | 2번 끝 | 3번 끝 | 4번 끝 |
|---|---|---|---|---|
| 1번 자리 | 30.5% | 28.1% | 22.4% | 19.1% |
| 2번 자리 | 28.1% | 26.7% | 23.6% | 21.7% |
| 3번 자리 | 22.4% | 23.6% | 26.2% | 27.8% |
| 4번 자리 | 19.1% | 21.7% | 27.8% | 31.5% |
고르게 나뉜다면 모든 칸이 25%여야 합니다. 1번 자리에서 출발하면 1번 끝이 30.5%로 가장 높고 오른쪽으로 갈수록 낮아집니다. 가운데 자리는 치우침이 작습니다. 2번 자리는 가장 높은 칸이 28.1%, 가장 낮은 칸이 21.7%입니다. 반올림한 값이라 한 줄을 더하면 100.0%에서 0.1 어긋나는 줄이 있습니다.
표는 좌우로 똑같지 않습니다. 왼쪽 칸부터 가로줄을 놓고 바로 옆 칸을 건너뛰다 보니, 한 높이에서 가로줄이 놓일 확률이 왼쪽 칸 33.3%, 가운데 칸 22.2%, 오른쪽 칸 25.9%로 달라집니다. 가로줄이 덜 놓이는 쪽에서 출발하면 제자리에 더 자주 남습니다. 4번 자리가 4번 끝에 닿을 확률은 31.5%로, 1번 자리가 1번 끝에 닿을 확률보다 조금 높습니다.
줄이 적을수록 출발한 자리 근처에 떨어집니다
같은 규칙에서 줄 수만 바꿔, 1번 자리가 1번 끝과 4번 끝에 닿을 확률을 다시 구했습니다.
| 가로줄을 놓는 높이 | 1번 끝 | 4번 끝 |
|---|---|---|
| 3줄 | 49.4% | 1.9% |
| 6줄 | 39.3% | 9.7% |
| 12줄 (도구의 4명 사다리) | 30.5% | 19.1% |
| 24줄 | 25.8% | 24.1% |
3줄이면 절반 가까이가 제자리에 떨어지고 반대편 끝은 1.9%뿐입니다. 줄 수를 두 배로 늘릴 때마다 두 숫자가 25%에 가까워지지만, 24줄에서도 같아지지는 않습니다.
손으로 그린 사다리는 줄을 긋는 방식이 달라 이 숫자가 그대로 맞지 않습니다.
인원이 늘면 반대편 끝은 더 멀어집니다
이 도구에는 참가자를 2명에서 30명까지 넣을 수 있고, 인원이 5명 이상이면 줄 수를 인원의 세 배로 늘립니다. 6명이면 18줄, 10명이면 30줄입니다. 그래도 사람이 많을수록 1번 자리에서 맨 오른쪽 끝자리까지 닿기는 어려워집니다.
| 인원 | 줄 수 | 1번 끝 | 맨 오른쪽 끝 | 고르게 나뉠 때 |
|---|---|---|---|---|
| 4명 | 12줄 | 30.5% | 19.1% | 25.0% |
| 6명 | 18줄 | 25.2% | 8.1% | 16.7% |
| 8명 | 24줄 | 22.1% | 3.6% | 12.5% |
| 10명 | 30줄 | 19.9% | 1.6% | 10.0% |
10명이면 1번 자리에서 출발해 10번 끝에 닿을 확률이 1.6%입니다. 고르게 나뉠 때의 10.0%와 거리가 멉니다. 출발과 도착을 맞바꿔도 값은 같습니다. 당첨이 1번 끝에 적혀 있고 모두가 그것을 보면서 자리를 고른다면, 당첨 확률이 1번 자리는 19.9%, 10번 자리는 1.6%입니다.
당첨 자리를 따로 뽑으면 어느 자리든 확률이 같습니다
치우침을 없애려고 사다리를 더 복잡하게 그릴 필요는 없습니다. 당첨 끝자리를 사다리와 상관없이 고르게 뽑으면 됩니다.
사다리는 모양이 어떻든 출발 자리와 끝자리를 하나씩 짝지어 줍니다. 가로줄은 두 세로줄의 자리를 맞바꿀 뿐이라 두 사람이 같은 끝자리에 닿는 일이 없습니다. 그러니 내가 어느 끝자리에 닿든, 그 끝자리가 당첨으로 뽑혔을 확률만 같으면 됩니다. 4명 가운데 1명을 뽑는다면 끝자리 넷 중 하나가 같은 확률로 당첨이 되므로 누구나 25%입니다. 2명을 뽑으면 50%입니다.
사다리 타기 도구가 이 순서로 움직입니다. '사다리 돌리기'를 누르면 사다리를 만들고, 그와 따로 당첨 끝자리를 겹치지 않게 뽑습니다. 참가자 옆에 당첨 여부를 미리 적는 칸은 없습니다. 무작위 수는 브라우저의 암호용 난수 생성 기능에서 받습니다. 받은 수를 필요한 범위로 줄일 때 한쪽으로 쏠리지 않도록, 고르게 나눌 수 없는 끝부분의 값은 버리고 다시 뽑습니다.
당첨 표시가 끝자리를 오가다 멈추고 참가자 1부터 차례로 길을 따라가는 것은 이미 정해진 결과를 보여 주는 연출입니다. 결과는 버튼을 누른 순간 정해집니다. 그래서 '바로 결과 보기'를 눌러도 결과는 달라지지 않고, 사다리와 당첨 자리는 '새로 추첨하기'를 누를 때만 다시 뽑힙니다.
종이 사다리에서도 조건은 같습니다. 자리를 고르는 사람이 당첨 자리를 모르고, 당첨 자리가 제비처럼 고르게 정해졌다면 어느 자리를 골라도 확률이 같습니다. 당첨 자리를 보면서 자리를 고른다면 사다리 모양에 따른 치우침이 남습니다.
추첨 기록은 남지 않습니다
이름과 추첨 결과는 주소에도, 서버에도, 브라우저 저장소에도 남기지 않습니다. 새로고침하면 적어 둔 이름과 결과가 사라집니다. 결과를 남기려면 추첨이 끝난 화면에서 이미지로 공유하거나 내려받아야 하고, 그 이미지에는 입력한 이름이 들어갑니다.
이미지를 따로 남기지 않았다면 지난 추첨을 나중에 다시 확인할 방법이 없습니다. 도구 안내에도 금전이나 경품이 걸린 공식 추첨의 검증 수단으로 쓰지 말라고 적혀 있습니다. 당번 정하기나 간식 살 사람 뽑기처럼 그 자리에서 결과를 함께 보고 끝나는 일에 맞습니다. 결과가 마음에 들지 않는다고 다시 돌리면 뽑는 의미가 없어지므로, 몇 번 돌릴지는 누르기 전에 정해 두는 편이 좋습니다.
확인한 근거
2026년 10월 10일에 확인했습니다.
- 사다리 타기의 동작과 안내 — 인원별 줄 수, 가로줄을 놓는 규칙, 당첨 끝자리를 사다리와 따로 뽑는 방식, 이름과 결과를 저장하지 않는다는 안내
- 도착 확률 — 위 규칙에서 한 높이에 나올 수 있는 가로줄 배치를 모두 세어 구했습니다. 표본을 뽑아 어림한 값이 아닙니다.
- W3C Web Cryptography Level 2, getRandomValues — 브라우저의 암호용 난수 생성 기능이 무엇인지
이 글의 확률은 이 도구가 사다리를 만드는 규칙으로 계산한 참고용 값입니다. 줄 수나 가로줄을 놓는 방식이 다른 사다리에는 그대로 맞지 않습니다.
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